電子署名を使用すれば、月間の送信件数を消費せずに契約書を送信できますか

電子署名のみで契約書を送信することはできません。
電子署名をお持ちでも、月間の送信件数がゼロの場合は契約書の送信を行えません。

電子署名の仕組みについては下記ヘルプをご覧ください。
電子署名の仕組み：署名タイプについて